Concepto de límite en Matemáticas tiene el sentido de “lugar” hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito.
Dada una función f(x) y un punto x = a, se dice que el límite de f(x) cuando x se acerca
a a es L, y se expresa como:
lím f(x) = L
x→a
En la práctica en muchas ocasiones es necesario calcular los llamados límites laterales, que se definen de la siguiente forma:
Se define el límite lateral por la derecha de a de la función f(x), y se expresa como:
lim f(x)
x→a+
Al límite al que se acerca f(x) cuando x se acerca a a y toma valores mayores que a.
De igual modo, el límite lateral por la izquierda de a de la función f(x) se expresa como:
lím f(x)
x→a−
y se define como el límite al que se acerca f(x) cuando x se acerca a a y toma valores menores que a.
f(x) = x2 si x <= 2
-2x + 1 si x > 2
| limx->2-f(x)=4 limx->2+f(x)=-3 No existe |
Tipos de límites
1.- Límites infinitos en un punto finito: En la situación del dibujo, se dice que el límite cuando x
se acerca por la derecha de a es +∞, pués a medida que la x se acerca a a, la función se hace
cada vez mayor:
lím f(x) = +∞
x→a+
De igual modo se define el límite −∞ cuando nos acercamos a a por la izquierda.
2.- Límites finitos en el infinito: Se dice que una función tiene límite b cuando x tiende a +∞ cuando la función se acerca a b cuando la x se hace cada vez mayor, es decir:
lím f(x) = b
x→∞
3.- Límites infinitos en el infinito: Aparece este caso cuando si x tiende a +∞ la función se hace cada vez mayor o menor (lo mismo si x tiende a −∞).
lím f(x) = −∞
x→∞
f(x)= x2Límites en el infinito.
1.- Límites de polinomios: El límite de cualquier polinomio cuando x tiende a ∞ siempre es +∞ o −∞, dependiendo del coeficiente del término de mayor grado del polinomio:
lím (2x5 − 3x2 + 5) =+∞
x→∞
lím (−3x7 − 5x2 +4x − 8) = −∞
x→∞
pues en el primer caso el coeficiente de x5 es positivo, y en el segundo caso el coeficiente de x7
es negativo.
2.- Indeterminación ∞/∞: Si tenemos un cociente de polinomios nos encontraremos con una indeterminación de este tipo. Tenemos:
lím p(x)/q(x)=
x→∞
- ±∞ si grado(p(x)) > grado(q(x)),
donde el signo depende de los coeficientes.
- 0 si grado(p(x)) < grado(q(x))
- a/b si grado (p(x)) = grado(q(x)) siendo a y b los
Límites en puntos finitos.
Si queremos calcular el límite de una función f(x) cuando x se acerca a cierto valor a, simplemente
hemos de sustituir el valor de a en f(x):
lím = 2x2 − 3x +1 = 2 · 9 − 3 · (−3) + 1 = −28
x→−3 x + 2 −3 +2
El problema que nos podemos encontrar en este caso es que el denominador se haga 0 al sustituir x
por el valor que corresponda.
Nos podemos encontrar, por tanto, varios tipos de indeterminación.
1.- Indeterminación k/0 , (k =0 ): Se presenta cuando en el numerador aparece un número cualquiera no nulo y el denominador es 0.
En este caso el límite el siempre ∞, pero para determinar su signo, se calculan los límites laterales.
Ejemplo:
lím = 1 − 2x = 1 − 2 = -1 = +∞
x→1 1 − x2 1 − 1 0
2.- Indeterminación 0/0: En este caso tanto numerador como denominador se hacen 0.
Si tanto en el numerador como en el denominador tenemos polinomios, la forma de resolver la
indeterminación es descomponer los polinomios en factores y simplificar para posteriormente volver a sustituir.
lím = x2 − 5x +6 = 4 − 10 + 6 = 0
x→2 x2 − 4 4 − 4 0
= lím (x − 2)(x − 3) = lím = (x − 3) = -1
x→2 (x − 2)(x+2) x→2 (x − 2 4
